"a otros le enseñaron, secretos que a ti no"
(Los Prisoneros)
Teorema de Gödel(aproximación de un inexperto
para la comprensión de otros inexpertos e inexpertas)
1) Axiomas y Teoremas: Los axiomas y los teoremas aparecen en toda construcción matemática.
1) Axiomas y Teoremas: Los axiomas y los teoremas aparecen en toda construcción matemática.
2) Los Axiomas: Son verdades que se aceptan (puntos básicos, de partida) que se aceptan SIN DEMOSTRAR.
3) Los Teoremas: Son verdades que SE DEBEN DEMOSTRAR, a partir de uno o varios axiomas, que se presentan como puntos de partida. Así se crea un andamiaje, cuyos pilares son los axiomas y que se transforman en complejas estructuras de verdades demostradas, llamadas teoremas. Los teoremas de una cierta parte de la estructura, son nuevas bases para la demostración de otros teoremas.
4) OPCIONES: El andamiaje matemático NO es uno sólo. Algunos matemáticos parten de ciertos axiomas y otros de otros, y cada uno construye desde sus bases elegidas. Así se han creado distintos cuerpos matemáticos, cada uno con su lógica interna.
Ejemplo: Algunos matemáticos se plantean desde el axioma de Euclides: “Hay sólo una recta paralela a otra que pasa por un punto externo” y desde aquí construyen un tipo de geometría, la Euclideana, que es la que estudiamos en los colegios. Hay otros matemáticos que parten del hecho de que hay infinitas rectas paralelas a una dada que pasan por un punto externo a la dada. Ellos construyen una geometría (No euclideana), distinta. Y ojo, que no se puede decir que hay una MEJOR que otra.
5) TENDENCIA CENTRAL: No obstante lo anterior, hay una cierta tendencia central, más o menos compartida, de una cierta matemática que se utiliza mayoritariamente en la enseñanza (al menos en la no especializada) y que es la que responde de manera pragmática a lo que la realidad (la gente, los técnicos) le pide a los matemáticos. Casi toda la gente que no sabe mucho de esta ciencia, cree que la matemática es UNA sola (y en cierto modo lo es).
6) HILBERT: A principios del siglo XX, según el sentir de Hilbert y la mayoría de los matemáticos, había acuerdo que para cualquier proposición susceptible de ser un teorema, es decir susceptible de ser demostrada haciendo uso de los axiomas en una secuencia bien construida del sistema matemático, habría de existir o bien una demostración de ella o bien una demostración de su negación porque en matemáticas no hay ningún "ignoraremos", kein 'ignorabimus' in der Mathematik. (¡Que vanidoso!)
La demostración rigurosa de este hecho, que parecía estar fuera de toda duda razonable, fue un objetivo principal del programa que Hilbert proponía. Con ello se llegaría a establecer claramente esa condición de árbitro supremo de la ciencia matemática.
7) GÖDEL: No habían pasado 6 años cuando en 1931 K. Gödel derribaba de forma definitiva la idea de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente la contraria: En cualquier sistema matemático suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.
Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en una artículo titulado “Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados”.
Poco después Gödel demostraría además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar aún mejor la profundidad de su anterior teorema: Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen contradicciones.
Es decir, construyamos el sistema matemático que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficiente para en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria, no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema, ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente demostrables.
Nota 1: Eintein y el lógico-matemático austriaco Kurt Gödel fueron buenos amigos. Quizás se buscaron como aquellos que buscan referencias y se encuentran comprobando finalmente que no tienen a nadie a quien más recurrir, son el último peldaño escalado en sus respectivas disciplinas ..... Los teoremas de Gödel sobre lo incompleto, publicados en 1931 cuando apenas tenía 25 años, reescribieron las directrices de la ciencia moderna, tanto como la teoría de la relatividad de Einstein lo había hecho hace 15 años antes. La aritmética elemental, según demostró Gödel, estaba incompleta y lo seguiría estando. No importa en que sistema axiomático Ud. base sus cálculos.
Nota 2: Enunciado del TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD de Gödel: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....
3) Los Teoremas: Son verdades que SE DEBEN DEMOSTRAR, a partir de uno o varios axiomas, que se presentan como puntos de partida. Así se crea un andamiaje, cuyos pilares son los axiomas y que se transforman en complejas estructuras de verdades demostradas, llamadas teoremas. Los teoremas de una cierta parte de la estructura, son nuevas bases para la demostración de otros teoremas.
4) OPCIONES: El andamiaje matemático NO es uno sólo. Algunos matemáticos parten de ciertos axiomas y otros de otros, y cada uno construye desde sus bases elegidas. Así se han creado distintos cuerpos matemáticos, cada uno con su lógica interna.
Ejemplo: Algunos matemáticos se plantean desde el axioma de Euclides: “Hay sólo una recta paralela a otra que pasa por un punto externo” y desde aquí construyen un tipo de geometría, la Euclideana, que es la que estudiamos en los colegios. Hay otros matemáticos que parten del hecho de que hay infinitas rectas paralelas a una dada que pasan por un punto externo a la dada. Ellos construyen una geometría (No euclideana), distinta. Y ojo, que no se puede decir que hay una MEJOR que otra.
5) TENDENCIA CENTRAL: No obstante lo anterior, hay una cierta tendencia central, más o menos compartida, de una cierta matemática que se utiliza mayoritariamente en la enseñanza (al menos en la no especializada) y que es la que responde de manera pragmática a lo que la realidad (la gente, los técnicos) le pide a los matemáticos. Casi toda la gente que no sabe mucho de esta ciencia, cree que la matemática es UNA sola (y en cierto modo lo es).
6) HILBERT: A principios del siglo XX, según el sentir de Hilbert y la mayoría de los matemáticos, había acuerdo que para cualquier proposición susceptible de ser un teorema, es decir susceptible de ser demostrada haciendo uso de los axiomas en una secuencia bien construida del sistema matemático, habría de existir o bien una demostración de ella o bien una demostración de su negación porque en matemáticas no hay ningún "ignoraremos", kein 'ignorabimus' in der Mathematik. (¡Que vanidoso!)
La demostración rigurosa de este hecho, que parecía estar fuera de toda duda razonable, fue un objetivo principal del programa que Hilbert proponía. Con ello se llegaría a establecer claramente esa condición de árbitro supremo de la ciencia matemática.
7) GÖDEL: No habían pasado 6 años cuando en 1931 K. Gödel derribaba de forma definitiva la idea de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente la contraria: En cualquier sistema matemático suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.
Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en una artículo titulado “Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados”.
Poco después Gödel demostraría además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar aún mejor la profundidad de su anterior teorema: Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen contradicciones.
Es decir, construyamos el sistema matemático que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficiente para en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria, no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema, ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente demostrables.
Nota 1: Eintein y el lógico-matemático austriaco Kurt Gödel fueron buenos amigos. Quizás se buscaron como aquellos que buscan referencias y se encuentran comprobando finalmente que no tienen a nadie a quien más recurrir, son el último peldaño escalado en sus respectivas disciplinas ..... Los teoremas de Gödel sobre lo incompleto, publicados en 1931 cuando apenas tenía 25 años, reescribieron las directrices de la ciencia moderna, tanto como la teoría de la relatividad de Einstein lo había hecho hace 15 años antes. La aritmética elemental, según demostró Gödel, estaba incompleta y lo seguiría estando. No importa en que sistema axiomático Ud. base sus cálculos.
Nota 2: Enunciado del TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD de Gödel: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....
8) Biografía de WIKIPEDIA: Kurt Friedrich Gödel (28 de abril 1906 - 14 de enero 1978), lógico y matemático nacido en Brünn, Austria-Hungría (en la actualidad Brno, República Checa). Su padre fue empresario textil lo que le permitió estudiar con comodidad. Ingresó en la Universidad de Viena en 1924 para estudiar Física pero hacia 1926 su atención se volcó a las Matemáticas. Se unió al que más tarde fue conocido como Círculo de Viena, que fundó la escuela filosófica conocida como Positivismo lógico.
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